Deformaciones de álgebras de Hopf a través de sucesiones exactas y geometría.

Las álgebras de Hopf son objetos que codifican las simetrías de objetos geométricos  a través de sus diferentes categorías de representaciones. Ejemplos básicos son 

las álgebras de grupo, las álgebras envolventes de las álgebras de Lie, las álgebras de funciones sobre grupos algebraicos afines, y las versiones cuánticas 

de las anteriores. 

 

Un problema aún abierto (difícil y muy amplio) es la clasificación de todas las álgebras de Hopf, por ejemplo, para saber si hay (muchos) ejemplos más exóticos o todas son variaciones leves de los ejemplos básicos. Uno de los resultados más completos es el de la clasificación de 

las álgebras de Hopf punteadas complejas de dimensión finita sobre grupos abelianos (de cierto orden) dada por Andruskiewitsch y Schneider. A grandes rasgos, el teorema dice que esta familia de  álgebras se obtiene como una variación de los grupos cuánticos pequeños introducidos por Lusztig asociados a álgebras de Lie g. Dicha variación está dada por una deformación del grupo cuántico pequeño como álgebra, y  esta última se puede describir a través de ciertos 2-cociclos. 

 

Si bien este teorema da la estructura y posible forma de las deformaciones, la construcción  explícita depende una fórmula recursiva que depende de la combinatoria del sistema de raíces de g.  Es así que la lista completa de este tipo de álgebras se conoce sólo para ciertos tipos de álgebras de  Lie y para ciertos rangos. 

 

En esta charla mostraremos una forma diferente de obtener estas deformaciones para ciertos casos utilizando sucesiones exactas e inclusiones de grupos finitos en los subgrupos de Borel asociados al sistema  de raíces de g. De esta forma, obtenemos una descripción geométrica, y fórmulas cerradas,  de lo que en la teoría se suelen llamar "liftings".

 

Esta charla está basada en un trabajo en conjunto con DIrceu Bagio y Oscar Márquez de la 

Universidad Federal de Santa Catarina, Brasil.