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Este viernes vamos a escuchar a Bojana Femic de la UdelaR que nos hablará sobre:
"Biwreaths: un sistema autocontenido del que resultan varias construcciones algebraicas conocidas"
En esta charla presento mi trabajo en desarrollo en el que introduzco la nocón de "biwreath" (guirnalda, corona).
Los wreaths fueron introducidos por Lack y Street en [LS]. En [BC] se demostró que muchas más estructuras conocidas en álgebra son ejemplos de los wreaths,
entre ellos el producto cruzado de Sweedler, versión de este para coquasi-biálgebras y el wreath mixto para quasi-biálgebras.
Wreath se define como mónada en la 2-categoría EM(K) que es la completación libre bajo los objetos de Eilenberg-Moore para mónadas en una 2-categoría K.
Dicho menos preciso pero más corto: un wreath es una mónada en la 2-categoría de mónadas. Desempacando la definición se obtiene que un wreath consiste de
dos 1-celdas (endomorfismos sobre una 0-celda) y tres 2-celdas en K de modo que se cumplan 7 axiomas. En dichos ejemplos los wreaths consisten de dos objetos
y tres morfismos en una categoría monoidal C, donde uno demuestra que los tres morfismos nombrados satisfacen los 7 axiomas.
Mi pregunta, que motivó esta investigación, fue por un lado: cómo uno sabe que en los ejemplos estudiados precisamente esos 3 morfismos funcionarán? Será posible
obtener esos morfismos como parte intrínseca de la definición de un objeto de tipo wreath? Y por el otro lado: wreaths se definen a través de mónadas en una 2-categoría K,
dualmente podemos considerar los cowreaths (definidos a través de comónadas en K), entonces qué obtendríamos si definieramos "biwreaths" (a través de bimónadas en K)?
En este trabajo mostramos qué es un biwreath (consiste de 2: 1-celdas, 8: 2-celdas y 43 axiomas) y como de los propios axiomas de biwreath resultan algunas expresiones
para ciertas 2-celdas de aquellas 8. Mostramos que algunas construcciones algebraicas conocidas (el biproducto de Radford y las meniconadas arriba) resultan como casos particulares de nuestra definición de biwreath. De este modo obtenemos un sistema autocontenido y los ejemplos estudiados quedan clarificados a un nivel más profundo.
[BC] D. Bulacu, S. Caenepeel, "Monoidal structures obtained from wreaths and cowreaths", Algebras Represent. Theory 17 (2014), 1035--1082.
[LS] S. Lack, R. Street, "The formal theory of monads II", J. Pure Appl. Algebra 175/(1-3) (2002), 243-–265.