Skip to main content

Una demostración del teorema de Bass-Heller-Swan a partir de categorías controladas.

Fecha de inicio

Profesor: Dr. Santiago Vega

Afiliación: Universidad de Buenos Aires

 

Una demostración del teorema de Bass-Heller-Swan a partir de categorías controladas.

Dado anillo regular $R$, el teorema de Bass-Heller-Swan afirma que existe un isomorfismo

$$ K_1(R[t,t^{-1}]) \cong K_0(R) \oplus K_1(R).$$

 

Observemos que podemos describir $R[t,t^{-1}]$ como el álgebra de grupo $R[\mathbb{Z}]$.

La descripción de la K-teoría de las álgebras de grupo es un problema relevante a distintas áreas del análisis y la topología. Una de las maneras para atacar este problema viene dado por categorías de control.

 

Más precisamente, dado un grupo (discreto) $G$ y un $G$-complejo simplicial $X$ con acción libre,

definimos la categoría $\mathcal{C}^G(X)$ de $R$-módulos geométricos $G$-invariantes sobre $X$. A partir de esto, definimos la.categoria $\mathcal{O}^G(X)$ como la subcategoría de $\mathcal{C}^G(X\times [1,+\infty))$

dada por módulos geométricos $G$-invariantes con soporte $C \subseteq X \times [1,+\infty)$ que se proyecta sobre un conjunto $G$-compacto de $X$ y cuyos morfismos satisfacen cierta "condición de control" cerca de $X \times \infty$. Defininimos la subcategoría $\mathcal{T}^G(X)$ de $\mathcal{O}^G(X)$ como la formada por aquellos módulos que tienen soporte acotado cuando se proyecta en $[1,+\infty)$.

 

Entonces existe una categoria cociente $\mathcal{D}^G(X)$ de modo que se obtiene una filtración de Karoubi

$$\mathcal{T}^G(X) \to \mathcal{O}^G(X) \to \mathcal{D}^G(X).$$

En particular obtebemos una sucesión exacta larga en K-teoría

$$K_n(\mathcal{T}^G(X)) \to K_n( \mathcal{O}^G(X)) \to K_n(\mathcal{D}^G(X)) \xrightarrow{\partial} K_{n-1}(\mathcal{T}^G(X)).$$

 

Por otro lado, la categoría $\mathcal{T}^G(X)$ es equivalente a la categoría de $R[G]$-módulos libres, por lo que $ K_1(\mathcal{T}^G(X)) = K_1(R[G])$. Entonces, analizando la sucesión exacta larga anterior, recuperamos el teorema de Bass-Heller-Swan a partir de una interpretación geométrica.

 

Finalmente, comentaremos porque es relevante esta interpretación geométrica para las conjeturas de isomorfismo y como podemos generalizar algunos de los cálculos explícitos a otros casos más generales.