SEMINARIO DE ÁLGEBRA DEL IMERL: Álgebras Igusa-Todorov y Diagramas Pullback

Daremos la definición y algunas propiedades de las álgebras Igusa-Todorov. Veremos un ejemplo de un álgebra de artin que no es Igusa-Todorov. Para una categoría abeliana A, definimos la categoría PEx(A) de diagramas pullback de sucesiones exactas cortas en A, como una subcategoría de la categoría de funtores Fun(\Delta, A) para una categoría de diagramas fija \Delta. Para un objeto M en PEx(A), demostramos la existencia de una sucesión exacta corta 0 {\to} K {\to} P {\to} M {\to} 0$ de funtores, donde los objetos están en PEx(A) y P(i) está en Proj(A) para todo i en \Delta. Demostramos que PEx(A) es cerrada por sumas y sumandos directos y exhibimos la forma de los objetos proyectivos en PEx(A). Veremos un ejemplo que muestra que PEx(A) no es una categoría exacta. Como aplicación, en el contexto de álgebras de Artin, demostramos que si (C, D, E) es una tripleta de clases de objetos sizigia finita en  mod(\Lambda) que satisfacen condiciones especiales, entonces \Lambda es un álgebra Igusa-Todorov. Veremos un par de ejemplos de aplicación de este teorema.