Profesor: Dr. Santiago Vega
Afiliación: Universidad de Buenos Aires
Una demostración del teorema de Bass-Heller-Swan a partir de categorías controladas.
Dado anillo regular $R$, el teorema de Bass-Heller-Swan afirma que existe un isomorfismo
$$ K_1(R[t,t^{-1}]) \cong K_0(R) \oplus K_1(R).$$
Observemos que podemos describir $R[t,t^{-1}]$ como el álgebra de grupo $R[\mathbb{Z}]$.
La descripción de la K-teoría de las álgebras de grupo es un problema relevante a distintas áreas del análisis y la topología. Una de las maneras para atacar este problema viene dado por categorías de control.
Más precisamente, dado un grupo (discreto) $G$ y un $G$-complejo simplicial $X$ con acción libre,
definimos la categoría $\mathcal{C}^G(X)$ de $R$-módulos geométricos $G$-invariantes sobre $X$. A partir de esto, definimos la.categoria $\mathcal{O}^G(X)$ como la subcategoría de $\mathcal{C}^G(X\times [1,+\infty))$
dada por módulos geométricos $G$-invariantes con soporte $C \subseteq X \times [1,+\infty)$ que se proyecta sobre un conjunto $G$-compacto de $X$ y cuyos morfismos satisfacen cierta "condición de control" cerca de $X \times \infty$. Defininimos la subcategoría $\mathcal{T}^G(X)$ de $\mathcal{O}^G(X)$ como la formada por aquellos módulos que tienen soporte acotado cuando se proyecta en $[1,+\infty)$.
Entonces existe una categoria cociente $\mathcal{D}^G(X)$ de modo que se obtiene una filtración de Karoubi
$$\mathcal{T}^G(X) \to \mathcal{O}^G(X) \to \mathcal{D}^G(X).$$
En particular obtebemos una sucesión exacta larga en K-teoría
$$K_n(\mathcal{T}^G(X)) \to K_n( \mathcal{O}^G(X)) \to K_n(\mathcal{D}^G(X)) \xrightarrow{\partial} K_{n-1}(\mathcal{T}^G(X)).$$
Por otro lado, la categoría $\mathcal{T}^G(X)$ es equivalente a la categoría de $R[G]$-módulos libres, por lo que $ K_1(\mathcal{T}^G(X)) = K_1(R[G])$. Entonces, analizando la sucesión exacta larga anterior, recuperamos el teorema de Bass-Heller-Swan a partir de una interpretación geométrica.
Finalmente, comentaremos porque es relevante esta interpretación geométrica para las conjeturas de isomorfismo y como podemos generalizar algunos de los cálculos explícitos a otros casos más generales.