Soluciones Globales de Viscosidad de la Ecuación de Hamilton-Jacobi en Variedades no Compactas

RESUMEN:

En esta tésis se estudian las soluciones globales de viscosidad de la ecuación de evolución de Hamilton-Jacobi en variedades completas (no necesariamente compactas). Se ven resultados de existencia y unicidad de soluciones a partir de sus condiciones iniciales,  y algunas propiedades acerca de los puntos de diferenciabilidad de esta clase de soluciones. Estas propiedades nos permitirán obtener conclusiones topológicas acerca de las singularidades. La existencia de las soluciones globales surgirá a partir del semigrupo negativo de Lax-Oleinik, el cual nos brindará un mecanismo para evolucionar en el tiempo a las condiciones iniciales de modo que su evolución sea efectivamente una solución de viscosidad.  En una primera instancia, se prueba el principio del máximo, el cual permite obtener una versión local de la unicidad de las soluciones de viscosidad. Esta noción local se extiende a una noción global de unicidad luego de observar que la acción de una curva está siempre acotada inferiormente por la variación de las soluciones en los extremos, y probando que en cada punto existe una curva que culmina en él y su acción realiza esta cota. Estos resultados requieren entender y caracterizar las soluciones de forma local con un operador similar al de Lax-Oleinik, y ver algunos teoremas de aproximación que nos permitan ganar regularidad bajo pequeños cambios en una solución de viscosidad. Finalmente,  dada una solución de viscosidad, se caracterizan sus puntos de diferenciabilidad en términos de las curvas calibrantes admitidas por dicha solución. Esto es usado en última instancia para deducir que la inclusión de las singularidades de la función distancia en el complemento del Aubry es una equivalencia de homotopía. Para llegar a esta conclusión, se estudian las evoluciones de Lax-Oleinik de indicatrices modificadas de conjuntos cerrados bajo el lagrangiano que define la energía cinética.