Seminario de Álgebra del IMERL
Título: Teoría de Bloques para Grupos Profinitos
Expositor: Ricardo Franquiz (Universidade Federal de Minas Gerais)
Resumen: La teoría de representaciones modulares de grupos finitos se encarga de entender la categoría de k[G]-módulos, donde G es un grupo finito y k es un cuerpo de característica p>0, tal que p divide al orden de G. Una forma de afrontar este desafío consiste en descomponer k[G] como un producto directo de álgebras indescomponibles, conocidas como bloques, y enfocarse en entender la teoría de representaciones en cada uno de estos bloques. Obsérvese que al p dividir al orden de G hace que k[G] no sea un álgebra semisimple. Consecuentemente no existe ninguna razón para suponer que sus bloques serán álgebras semisimples. A cada bloque podemos hacerle corresponder un p-subgrupo de G llamado grupo de defecto. Este subgrupo mide la dificultad que posee un bloque para ser una álgebra semisimple. Cuando el grupo de defecto asociado a un bloque es un grupo cíclico, es posible codificar la información del bloque en un grafo finito y describirlo usando la estructura de "álgebra de un árbol de Brauer ". Estas ideas fueron desarrolladas por Richard Brauer en 1930 usando el enfoque de la teoría de caracteres de grupos finitos. Posteriormente, en la década de 1960, Everett C. Dade tradujo las ideas de Brauer para el lenguaje de los módulos.
Recientemente entre los años 2010 y 2011, John MacQuarrie transfirió las ideas básicas de la teoría de representaciones modulares de grupos finitos para el contexto de los grupos profinitos. Los grupos profinitos forman una categoría cuyos objetos usualmente son grupos infinitos. El álgebra de grupo de un grupo profinito es un álgebra pseudocompacta conocida como álgebra de grupo completa. Las Álgebras pseudocompactas pueden tener dimensión infinita. Las álgebras de grupo completas poseen también una descomposición en producto directo de bloques. Usando los resultados obtenidos por MacQuarrie, guiados por la teoría de representaciones modulares de grupos finitos, mostraremos en esta charla cómo asociar un grupo de defecto a un bloque de una álgebra de grupo completa y describiremos los bloques con grupo de defecto cíclico (esto es, grupos de defecto que sean p-subgrupos cíclicos finitos o el grupo de los enteros p-ádicos Z_p) usando la estructura de álgebra de un árbol de Brauer.
Este trabajo fue realizado conjuntamente con John MacQuarrie.
Viernes 19/11 a las 11:00
A través de Zoom
Contacto: Marco A. Pérez - mperez@fing.edu.uy
Información de acceso a la sala de Zoom:
Enlace: https://salavirtual-udelar.zoom.us/j/84292791701?pwd=enhybDUrL0Z5aFZMbV…
ID de reunión: 842 9279 1701
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