No queremos que la historia se olvide, pero sobre todo no queremos que nuestra esencia se olvide. Hombres y mujeres que han forjado el camino de la ciencia de nuestro país, recorrieron nuestros pasillos y dieron clase en nuestros salones.
Hoy vamos a recordar a José Luis Massera (1915-2002), ingeniero y matemático uruguayo, docente de la Facultad y recibió el título de Doctor Honoris Causa de la Universidad de la República, máximo título honorífico de la Institución. Massera, junto a Laguardia, fue fundador y pilar de la escuela matemática uruguaya. En los años 40 y 50 ya había publicado artículos matemáticos que serían el inicio de muchos trabajos e investigaciones posteriores.
El recuerdo de Massera recibió una gran atención de la comunidad política y científica de nuestro país en el año 2015, al cumplirse 100 años de su nacimiento, con eventos, actividades y mesas de discusión entorno a sus dimensiones políticas, filosóficas y matemáticas.
Fue en una de estas actividades, realizada en el Anfiteatro de la Facultad el 8 de julio de 2015, donde Juan Grompone lo recordaba como “uno de los mejores docentes de la Facultad de Ingeniería. Una clase de Massera era matemática pura, un edificio racional, lógico e infalible”.
Aquel recíproco
Empezamos diciendo “Hombres y mujeres que han forjado el camino de la ciencia de nuestro país”, pero con Massera debemos ir un poco más allá. Massera publicó artículos matemáticos de suma importancia y entre esas múltiples publicaciones se destaca su demostración del recíproco del teorema de estabilidad de Liapunov, con el que adquirió notoriedad y fama mundial en la matemática.
Desde fines de siglo XIX se buscaba un recíproco para ese teorema. El problema estuvo abierto por más de 50 años.
¿Que decía Liapunov?
Teorema 1 (Liapunov). Si V : U→
es una función de Liapunov definida, continua y con derivada primera continua en un entorno U de x0 tal que:
- la función V es continua en U, nula en x0 y estrictamente positiva en los demás puntos de U diferentes de x0, y
- su derivada de Liapunov , es continua en U, nula en x0 y negativa o nula en los demás puntos de U
entonces x0 es un punto de equilibrio estable en el futuro.
Teorema 2 (Liapunov). Si V : U→ es una función de Liapunov definida en un entorno U de x0 tal que:
- la función V es continua en U, nula en x0 y estrictamente positiva en los demás puntos de U diferentes de x0
- su derivada de Liapunov es continua en U, nula en x0 y estrictamente negativa en los demás puntos de U
entonces x0 es un punto de equilibrio asintóticamente estable en el futuro.
El recíproco del Teorema 1 de Liapunov es falso. Por ejemplo, si consideramos en la ecuación ẋ = f(x), donde f es la función definida por f(0) = 0, y f(x)=(1/x2)sen2(1/x) si , se puede demostrar de manera relativamente sencilla que 0 es un punto de equilibrio estable. Sin embargo, y aunque es relativamente difícil probarlo, no existe en este ejemplo ninguna función de Liapunov que verifique las hipótesis del Teorema 1.
En cambio, el recíproco del Teorema 2 es verdadero, y su demostración es debida a José Luis Massera.
Teorema 3 (Massera). Si x0 es un punto de equilibrio asintóticamente estable en el futuro, entonces existe una función de Liapunov V, que cumple las hipótesis del Teorema 2 de Liapunov, definida en un entorno de x0, tal que, V es definida positiva en x0, y es definida negativa en x0.
Para entender el alcance de la teoría
Tomando palabras del Ing. Martín Ponce de León, expresadas en la Cámara de Representantes en 2002 con motivo de un homenaje póstumo a Massera, su aporte refiere a la estabilidad en la teoría de ecuaciones diferenciales no lineales. Esta teoría, que hoy es parte de la teoría matemática de los sistemas dinámicos, trata de estudiar el movimiento en cualquiera de sus formas. Dado un objeto en movimiento, se trata de describir los estados de ese objeto luego de trascurrido bastante tiempo. En numerosas aplicaciones de la teoría, se trata de predecir su evolución, aunque sea aproximadamente, con un objetivo muy práctico: poder actuar sobre el resultado del fenómeno. Esto se aplica a los más diversos temas, sea el número de enfermos de una epidemia o el resultado posible de un fenómeno eléctrico.
Desde fines del siglo XIX se conocían las condiciones de Liapunov, que aseguran en caso que determinados puntos las satisfagan, el punto es estable y, por lo tanto, de evolución predecible.
Desde entonces, quedó planteado el problema: ¿Habrá puntos estables que no cumplan con las condiciones de Liapunov? Este problema fue largamente estudiado en todo el mundo hasta que Massera lo resolvió. La respuesta es no.
Las condiciones de Liapunov caracterizan los puntos estables. La que, en términos formales, hasta ahora era una condición suficiente se convirtió también en una condición necesaria. Los resultados de Massera en este tema fueron publicado en “Annals of Mathematics”, en 1949, y hoy en día son usados por matemáticos, físicos, químicos, biólogos, economistas, ingenieros, entre otros. Sus ideas y métodos trascendieron largamente su obra.
Más allá de los números
En este artículo hicimos hincapié en su dimensión matemática, que es la que vemos en los cursos y estudiamos como tal. Pero Massera fue un actor social muy importante para nuestro país, vinculado a la creación del Instituto de Matemática, el Programa de Desarrollo de las Ciencias Básicas, la Facultad de Ciencias y el Frente Amplio.
Como destacara la decana de la Facultad, María Simon, “es admirable la vigencia de su pensamiento, sensibilidad y ética en todos sus aspectos: matemática, política y preocupación social, que formaron siempre parte de lo mismo”.
Hay muchos libros por ahí
Algunos de los libros disponibles en Fing sobre Massera son:
- “José Luis Massera : ciencia y compromiso social” - Roberto Markarian Abrahamian, coordinador, PEDECIBA, Montevideo, Uruguay, 2010
- “Un pensamiento libre: cartas de José Luis Massera Massera” - Serie de Archivos privados del Archivo General de la Universidad, Universidad de la República, Montevideo, Uruguay, 2005.
Bibliografía
- Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, de Omar Gil, Universidad de la República, Montevideo, Uruguay, 2000
- Notas del curso de Ecuaciones Diferenciales utilizadas para los cursos de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales de las facultades de Ciencias e Ingeniería, Ezequiel Maderna, Montevideo, Uruguay, 2006 http://www.cmat.edu.uy/cmat/docentes/emaderna/publicaciones/manualreference.2014-01-20.3501989934
- Revista de Ingeniería Nº 13 - Agosto de 2013, Montevideo, Uruguay, 2013
Agradecimientos
Eleonora Catsigeras, Jorge Graneri, Marcelo Lazilotta y María Simon
Área de Comunicación de la Facultad de Ingeniería - Udelar